解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5)

詳細

• タイトル: 解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) de 松坂 和夫
• ISBN: 4000298755
• ファイル名: 解析入門-中-松坂和夫-数学入門シリーズ-5.pdf
• 発売日: 2018/11/7
• ページ数: 424ページ ページ
• 出版社: 松坂 和夫

上巻を読み終えたか,「入門微分積分学15章」などで１変数の微分積分を学び終えた方が,多変数関数の微分積分を学ぶためには, 杉浦の解析入門にかなり近いほど厳密に記述する準備をしてから始める本格派である.集合論の初歩・距離空間の位相・連続関数環の章を経てから, 多変数関数の微分(偏微分・全微分)に入る. 上巻と同様, 全体が理論的に強固な印象がある. 予備知識を仮定せず厳密性と完備性を追求する形の本で本書ほど読みやすい本はないだろう. 少なくとも理論的にはわかりやすい. ただ, 上巻からの引用は度々ある.長い目で見れば現代数学の多分野を学ぶ際に必要になる集合と位相の理論を, 予備知識を仮定せずに, また後の章や環論・関数解析とつながる形で前もって述べているのは著者なりの工夫であろう. 図説もあるが, 自分なりに図を描いたり調べたりして読み進めることをおすすめしたい. いきなり多変数関数の微分積分に入りたい方は「キーポイント 多変数の微分積分」を読むのが良いであろう. 距離空間の位相の章では仮定が偽の命題は真であることを既知としているが, これは「解析入門Ⅰ」「集合・位相入門」に解説がある.ちなみにclopen(＝closed and open)という単語が載っている日本語の本としては唯一ではないかと思う.実２変数実数値関数のグラフは曲面になると図も用いて説明しているが, なぜ曲面になるのか, 実際に高校生に教えていた時に疑問を持たれたので念のため言うと, 閉円板(x, y)で定義された実２変数実数値関数z＝√(r^2−(x^2＋y^2))のグラフは球面(x, y, z)の上半分であることから納得がいくと思う. 実例のグラフによる図説は本書にはなかった.また多変数関数の極値問題を, ヘッセ行列が定める二次形式の性質により説明しているが, その幾何学的な意味は説明されていない.図は描けないので, 調べるか, 齋藤「線型代数入門」(コメントとプロフィールのリンク先にレビューあり)を参照されたいが, C^2級関数z＝f(x, y)が(x, y)＝(a, b)で極小であるときz＝f(x, y)のグラフは点(a, b, f(a, b))の近傍で下に凸の楕円放物面z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)で近似できる. ここでα, β＞0はfのヘッセ行列の固有値である. 極大となるときは(a, b, f(a, b))の近傍で上に凸の楕円放物面z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)で近似できる. ここではα, β＜0でありやはりヘッセ行列の固有値である. (a, b)が鞍点,すなわちgrad(f(a, b))＝0かつfが(a, b)で極大でも極小でもないときはfのグラフは(a, b, f(a, b))の近傍で双曲放物面z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)で近似できる. ただしαβ＜0である. 背景にはテイラーの定理と多様体論のモースの定理がある. ちなみに２変数の場合には良く知られた平方完成による説明も併記している.一般的な陰関数定理や逆関数定理および二次形式を述べるために線型写像や行列式および対角化の章も設けてある. 行列式の章は初学者でも読めるであろうほどていねいに書いてあるが, やはり線型代数は既知のほうが読みやすいと思う. このリンク先のレビューの終わりのほうも参照されたい. 行列式についてはあいまいな理解でも問題ないだろう. ただ, 対角化の章で暗黙のうちに(AB)^t＝(B^t)(A^t) (転置について)(A^(−1))^(−1)＝A (逆行列について)を問から引用している. また行列Aがエルミート行列であることはAの共役＝Aの転置, を満たすAよりもAの共役転置＝A, を満たすAとするほうが後の定理の証明を読む際にも線型代数を学ぶ際にも好ましい. またF^nの部分空間Vに対してV⊆(V^⊥)^⊥は明らかとされている. ベクトルa∈F^n(n＝2, 3)に直交するベクトルに直交するベクトルはaに平行と考えることもできるが, 任意のx∈V, y∈V^⊥に対してx・y＝0ゆえx∈(V^⊥)^⊥だからである. これは初学者には気付きにくいかもしれない. (ちなみに無限次元計量線型空間の部分空間Vに対して(V^⊥)^⊥はVの閉包に等しい. )さらに問では線型空間の２つの部分空間の共通部分も部分空間になることを既知としている.難点も挙げてきたが, 陰関数定理に関連して階数定理という定理を挙げて証明し, (多変数)関数のグラフが(超)曲面(あるいは曲線)になることを証明している. また陰関数定理それ自体, ２変数の場合にはわかりやすい古典的な証明を先に提示している. １変数実数値関数の凸性についての定理を多変数に一般化して多変数関数のグラフについて凸性の幾何学的な意味を明らかにしているのは良いであろう. 代数学の基本定理のわかりやすい独特な証明があるのも高く評価したい. 鞍点についてはペアノが考えた鋭い例も挙げられている. 問には偏微分方程式と関連する話題もある. どの章でも問は解けなくてもいいので(わからなければ解答にも)目を通して理解し, 重要そうな結果は記憶しておくと良い.また多重積分は下巻で扱われているが, 反復積分の順序変更可能性および(広義積分の一様収束に関連して)広義の反復積分の順序変更可能性が紹介されているのも良いであろう. この節では, 連続関数環の位相的性質が使われている. また, この節に微分方程式も例にあるのはおもしろい.フーリエ級数の章があるのは,位相・解析学・線型代数とのつながりを提示するためかもしれないが,「解析概論」や「続 解析入門」に倣ったのかもしれない. しかしどのみち理工学では重要だし, 線型代数の理解も深まる良い話題であろう. 幾何学的な意味も説明してあり, また下巻の複素解析ともつながっている.地道に急がす現代数学に入門していきたい方におすすめしたい.誤植は殆んど無く印刷の質も問題ない. ページには余白が充分あり図を描いたり計算しながら読める.下巻のレビューも参考になれば幸いです。